こんにちは、周木律です。
８月６日に僕の２作目「双孔堂の殺人〜Double Torus〜」がリリースされました。
この作品には、位相幾何学（トポロジー）という、日ごろあまりなじみのない数学にまつわる概念や逸話がいくつか出てきます。もちろん、予備知識がなくとも読めるようにはなっていますが、一方で、あらかじめ知っておいていただければより楽しめる部分も多くあると思います。というわけで僭越ながら、この場を借りて、位相幾何学について、ちょびっとだけお話をしたいと思います。
1. 球面とトーラス
のっけから話が逸れてしまうのですが、分類学というものがあります。
これは、生物をさまざまな特徴から分類、種別しようという学問です。生物を個ではなく、種として理解しようとするもので、進化論の理解にも大きく役立っています。分類学の効能は、言うまでもなく、分類することでばらばらの個が系統別にまとまり、これが大局的な理解を促進するという点にあります。
生物学だけでなく、数学でも、この「分類する」という行為はとても重要です。
例えば、３本の直線で囲まれた図形は「三角形」に分類されます。本当は、それぞれをみれば正三角形、直角三角形、二等辺三角形などいろんな種類があるのですが、どれも「辺・頂点が３つずつ」という共通項を持つので、これらを「三角形」というカテゴリに入れ、理解をしやすくするわけです。
さて、では立体図形に関する分類にはどんなものがあるでしょうか。
ひとつには、立体の面の数で分類する方法があります（○面体など）。あるいは、頂点の数で分類する方法もあります。ただ、これらの分類では、球のような曲面をもつ立体が分類できないという欠点があります。
そこで、数学者はこう考えました。図形が粘土のようなものでできているとして、頂点や辺やくぼみを均してしまえるとすれば、図形固有の特徴が浮き彫りになるのではないか？
湯呑み、コーヒーカップ、やかんを例に取ります。
本来、これらのものはセラミックや金属でできているものですが、今はこれを粘土でできていると仮定して、形を均していきます。すると――。
球、ドーナツ型、穴が２つのドーナツ型になりました。
それぞれを区別するのは、見て解るとおり穴の数です。つまり、立体図形を分類するには「穴の数」がひとつの手掛かりとなっているということが解るわけです。
このような考察などから、位相幾何学という数学は生まれていきました。
位相幾何学では、球は「球面（sphere）」ですが、ドーナツ型の図形は「トーラス(torus)」と呼ばれています。また副題にもなっている「ダブルトーラス（double torus）」は、穴が２つのドーナツ型のことです。『双孔堂の殺人』には「ダブル・トーラス」という建築物が登場しますが、作中の俯瞰図を見ていただければ、命名の由来がお解りいただけると思います。
ところで、次のような図形は、形を均すとどんな図形になると思いますか。トーラス？ ダブルトーラス？ それともトリプルトーラス？ （答えは最後に。）
2. メビウスの帯とクラインの壷
位相幾何学には、そのほかにも、「メビウスの帯」と「クラインの壷」というとても有名な図形が登場します。
メビウスの帯は、テープを半回転ひねって輪っかにした図形で、表を進むといつの間にか裏になり、裏を進むといつの間にか表になる、裏と表の区別がないという性質があります。『双孔堂の殺人』に出てくる「ダブル・トーラス」も、一階と二階を交差する階段で連結しています。主人公は、この一階と二階で進行方向が入れ替わるさまを見て、メビウスの帯を連想します。
クラインの壷はその立体版です。自己交差するため３次元空間でつくることはできませんが、やはり裏と表の区別がないという性質を持っています。
ちなみに、メビウスの帯を幅広にして、そのふちを貼りあわせると、クラインの壷になります。
3. ポアンカレ予想とペレルマン
さて、位相幾何学において、最大の難問とされていたのは、なんといっても「ポアンカレ予想」です。
この予想は、ポアンカレというフランスの数学者が1904年に提起した問題で、実に100年もの間、未解決問題として世の数学者を悩ませてきました。
問題は、実にシンプルです。
「単連結な３次元閉多様体は、３次元球面に同相か？」
シンプルと言いつつ、単連結とか多様体とか数学用語が出てくるので、訳が解りませんよね。そこでここは思い切って、こんな風に問題を（ものすごく乱暴ですが）言い換えます。「ある空間に張られた『ひとまわりのロープ』を、いつも１ヵ所で回収できるなら、その空間は『球面』だと言っていいか？」
例えば、球面の上に立つ人が、ロープ（輪）を回収するとします。ロープがどのように張られていても、この人は必ずロープを回収することができます。
ところが、トーラスの上に立つ人がロープを回収するとき、必ずロープが回収できるとは限りません。ロープに穴が引っ掛かることがあるからです。
これらのことを踏まえると、どんなロープでも常に回収できるなら、その場所は球面なのではなかろうか？ という考察が成り立つわけです。
これこそがポアンカレ予想です。どうです、シンプルでしょう？
ですが、シンプルであるほど難解になる他の問題（フェルマーの最終予想やゴルドバッハ予想）と同様、ポアンカレ予想も、多くの数学者たちの人生を振り回した挙句、解決したのはようやく2006年のことでした。
ポアンカレ予想を証明したのは、ロシアの数学者、ペレルマンでした。
ペレルマンはずいぶんと（十和田先生並みに）変わった人です。
例えばポアンカレ予想には、なんと100万ドルの懸賞金がかかっていました。当然、証明を果たしたペレルマンはこの大金を受け取る権利があったのですが、彼はこれを辞退してしまいました。
金銭だけではなく、ペレルマンは、数学界のノーベル賞ともいわれる「フィールズ賞」さえも辞退していました。金銭も栄誉も放棄してしまったわけです。
そんな彼が今何をしているかというと、勤めていた研究所を辞め、趣味のきのこ狩りをしながら、母親の年金と貯金とで細々と暮らしているのだそうです。数学者には無欲な人も多いですが、ここまで極端な人も珍しいかもしれません。
4. 最後に
数学というととかく「小難しい」印象ですが、さまざまな手掛かりをもとに解へと進んでいく爽快感を持った学問です。これはまさに、謎を解くことをテーマとした推理小説と同じものじゃないかと思います。
このコラムを読んでいただいた皆さんにも、その爽快感を味わってもらいたい――そんな気持ちで小説を書いていますので、今後ともどうぞよろしくお願いいたします。
- あ、最後に図２の答えを。答えは「ダブルトーラス」でした。
周木 律（しゅうき・りつ）
